Faktor Persekutuan Terbesar (FPB)
FPB merupakan faktor paling besar
dari gabungan beberapa bilangan. Berikut ini beberapa cara untuk menentukan FPB dan penyelesaian masalah matematika yang berkaitan dengan FPB. Selamat belajar!!!!
A. Cara mencari FPB
1. Menggunakan Himpunan Faktor Persekutuan
Contoh :
a. Tentukan FPB dari bilangan 18 dan 24
Faktor 18 = {1, 2, 3, 6, 9, 18}
Faktor 24 = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}
Faktor persekutuan dari 18 dan 24 = { 1, 2, 3, 6}
Jadi, FPB dari 18 dan 24 = 6
b. Tentukan FPB dari bilangan 75 dan 120
Faktor 75 = {1, 3, 5, 15, 25, 75}
Faktor 120 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60, 120}
Faktor persekutuan dari 75 dan 120 = {1, 3, 4, 15}
Jadi, FPB dari 75 dan 120 = 15
c. Tentukan FPB dari bilangan 36, 48 dan 72
Faktor 36 = {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36}
Faktor 48 = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16,24, 48}
Faktor 72 = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72}
Faktor persekutuan dari 36 dan 48= {1, 2, 3, 4, 6, 12}
Jadi, FPB dari 36 dan 48 = 12
2. Menggunakan Pohon Faktor
a. Buatlah pohon faktor dari kedua bilangan yang dicari FPB-nya.
b. Tulis faktorisasi primanya.
c. Pilihlah bilangan pokok yang sama pada kedua faktorisasi prima.
d. Jika bilangan tersebut memiliki pangkat yang berbeda, ambillah bilangan prima dengan pangkat yang terendah.
Contoh :
1) Tentukan FPB dari bilangan 20 dan 30
20 30
2 10 2 15
2 5 3 5
22 x 5 2 x 3 x 5
FPB = 2 x 5
= 10
a) 2 dan 5 adalah bilangan prima yang sama-sama terdapat faktorisasi prima kedua pohon faktor.
b) Pangkat terendah dari 2 adalah 1.
c) Pangkat terendah dari 5 adalah 1.
d) Maka FPB = 2 x 5 = 10
2) Tentukan FPB dari bilangan 48 dan 60
48 60
2 24 2 30
2
12 2 15
2 6 3 5
2 3 22 x 3 x 5
24 x 3
FPB = 22 x 3
= 12
a) 2 dan 3 adalah bilangan prima yang sama-sama terdapat faktorisasi prima kedua pohon faktor
b) Pangkat terendah dari 2 adalah 2
c) Pangkat terendah dari 3 adalah 1
d) Maka FPB = 22 x 3 = 12.
3) Tentukan FPB dari bilangan 18, 30, dan 36
18 30 36
2 9 2 15 2 18
3 3
3 5 2
9
2 x 32 2 x 3 x 5
3 3
22 x 32
FPB = 2 x 3
= 6
a) 2 dan 3 adalah bilangan prima yang sama-sama terdapat faktorisasi prima ketiga pohon faktor.
b) Pangkat terendah dari 2 adalah 1.
c) Pangkat terendah dari 3 adalah 1.
d) Maka FPB = 2 x 3 = 6
3. Menggunakan Tabel
a. Buatlah cara tabel untuk mencari faktorisasi prima dari bilangan yang dicari FPB-nya.
b. Beri tanda faktor prima yang sama.
Contoh :
1) Tentukan FPB dari bilangan 10 dan 15
|
|
10 |
15 |
|
2 |
5 |
15 |
|
5 |
1 |
3 |
|
3 |
1 |
1 |
FPB = 5
2) Tentukan FPB dari bilangan 36 dan 54
|
|
36 |
54 |
|
2 |
18 |
27 |
|
2 |
9 |
27 |
|
3 |
3 |
9 |
|
3 |
1 |
3 |
|
3 |
1 |
1 |
FPB = 2 x 3 x 3
= 2 x 32 = 18
3) Tentukan FPB dari bilangan 75, 105 dan 120
|
|
75 |
105 |
120 |
|
2 |
75 |
105 |
60 |
|
2 |
75 |
105 |
30 |
|
2 |
75 |
105 |
15 |
|
3 |
25 |
35 |
5 |
|
5 |
5 |
7 |
1 |
|
5 |
1 |
7 |
1 |
|
7 |
1 |
1 |
1 |
FPB = 3 x 5 = 15
4. Menggunakan Algoritma Euclid
Yaitu mencari FPB dengan melakukan pembagian berulang-ulang, dimulai dari ke dua bilangan yang hendak dicari FPB-nya dan di dapatkan sisa 0 (nol).
Tahapan-tahapannya adalah sebagai berikut:
a. Bilangan terbesar dibagi bilangan yang kecil
b. Bilangan yang kecil dibagi hasil sisa perhitungan pertama
c. Seterusnya hingga didapatkan sisa 0 (nol)
d. FPB (bilangan terakhir yang dipakai membagi hingga didapatkan sisa 0 (nol).
Contoh:
1) Cari FPB dari bilangan 40 dan 60
60 : 40 = 1 sisa 20
40 : 20 = 2 sisa 0
Bilangan terakhir yang dipakai untuk membagi itulah FPB-nya.
Jadi, FPB dari bilangan 40 dan 60 adalah 20.
2) Cari FPB dari bilangan 40 dan 64
64 : 40 = 1 sisa 24
40 : 24 = 1 sisa 16
24 : 16 = 1 sisa 8
16 : 8 = 2 sisa 0
Jadi, FPB dari bilangan 40 dan 64 adalah 8.
B. Menyelesaikan Masalah Berkaitan dengan FPB
1. Contoh masalah 1
Dalam rangka merayakan hari ulang tahunnya, Ema membagikan 75 buku tulis dan 50 pensil kepada anak-anak yatim piatu. Setiap buku tulis dan pensil akan dibagikan kepada anak-anak dengan jumlah yang sama banyak.
a. Berapa anak yatim yang bisa mendapatkan buku tulis dan pensil?
b. Berapa buku tulis dan pensil untuk masing-masing anak?
Cara penyelesaian masalah:
Ada 75 buku tulis. Agar setiap anak mendapat bagian yang sama banyak, maka buku tulis tersebut dapat dibagikan kepada:
1 anak, 3 anak, 5 anak, 15 anak, 25 anak, atau 75 anak
Ada 50 pensil. Agar setiap anak mendapat bagian yang sama banyak, maka pensil pensil tersebut dapat dibagikan kepada:
1 anak, 2 anak, 5 anak, 10 anak, 25 anak, atau 50 anak
Jika setiap buku tulis dan pensil dibagikan kepada anak-anak dengan jumlah yang sama banyak, maka buku tulis dan pensil tersebut dapat dibagikan kepada 1 anak, 5 anak, atau 25 anak.
Jadi, penyelesaian masalah di atas adalah sebagai berikut.
1) Banyak anak yatim yang mendapat buku tulis dan pensil dengan bagian yang sama, paling banyak 25 anak.
2) Setiap anak mendapatkan 75 : 25 = 3 buku tulis dan 50 : 25 = 2 pensil.
Jika kamu perhatikan dengan seksama, 25 adalah FPB dari 75 dan 50. Jadi, penyelesaian permasalahan di atas dilakukan dengan menggunakan FPB.
2. Contoh masalah 2
Doni mempunyai 20 butir kelereng merah, 28 butir kelereng putih, dan 36 butir kelereng biru. Kelereng tersebut dimasukkan ke dalam kantong dengan isi sama banyak. Berapa kantong yang diperlukan? Berapa butir kelereng merah, kelereng putih, dan kelereng biru dalam satu kantong?
Penyelesaian masalah:
FPB dari 20, 28, dan 36
|
|
20 |
28 |
36 |
|
2 |
10 |
14 |
18 |
|
2 |
5 |
7 |
9 |
|
3 |
5 |
7 |
3 |
|
3 |
5 |
7 |
1 |
|
5 |
1 |
7 |
1 |
|
7 |
1 |
1 |
1 |
FPB dari 20, 28, dan 36 = 2 x 2 = 4
Jadi, jumlah kantong yang diperlukan = 4 kantong
Isi tiap kantong:
a. Kelereng merah = 20 : 4 = 5 butir
b. Kelereng putih = 28 : 4 = 7 butir
c. Kelereng biru = 36 : 4 = 9 butir
